第一篇:向量证明重心
向量证明重心
三角形abc中,重心为o,ad是bc边上的中线,用向量法证明ao=2od
(1).ab=12b,ac=12c。ad是中线则ab+ac=2ad即12b+12c=2ad,ad=6b+6c;bd=6c-6b。od=xad=6xb+6xx。(2).e是ac中点。作df//be则ef=ec/2=ac/4=3c。平行线分线段成比od/ad=ef/af即(6xb+6xc)/(6b+6c)=3c/9c,x(6b+6c)/(6b+6c)=1/3,3x=1。(3).od=2b+2c,ao=ad-od=4b+4c=2(2b+2c)=2od。
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设bc中点为m∵pa+pb+pc=0∴pa+2pm=0∴pa=2mp∴p为三角形abc的重心。上来步步可逆、∴p是三角形abc重心的充要条件是pa+pb+pc=0
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如何用向量证明三角形的重心将中线分为2:1
设三角形abc的三条中线分别为ad、be、cf,求证ad、be、cf交于一点o,且ao:od=bo:oe=co:of=2:1
证明:用归一法
不妨设ad与be交于点o,向量ba=a,bc=b,则ca=ba-bc=a-b
因为be是中线,所以be=(a+b)/2,向量bo与向量be共线,故设bo=xbe=(x/2)(a+b)
同理设ao=yad=(y/2)(ab+ac)=y/2(-a+b-a)=-ya+( ……此处隐藏2850个字……
32
c.3d.6
2.若?abc的外接圆的圆心为o,半径为1,oa?ob?oc?0,则oa?ob?() a.
12
b.0c.1d.?
12
3.点o在?abc内部且满足oa?2ob?2oc?0,则?abc面积与凹四边形
aboc
面积之比是() a.0b.
32
c.
54
d.
43
4.?abc的外接圆的圆心为o,若oh?oa?ob?oc,则h是?abc的()
a.外心b.内心c.重心d.垂心
5.o是平面上一定点,a、b、c是平面上不共线的三个点,若oa
?bc?ob
?ca?oc?ab,则o是?abc的()
a.外心b.内心c.重心d.垂心
oh?m(oa?ob?oc),?abc的外接圆的圆心为o,6.两条边上的高的交点为h,
则实数m =
→→→→1abacabac→→→
7.(06陕西)已知非零向量ab与ac满足(+ )·bc=0 · = , 则
2→→→→|ab||ac||ab||ac|△abc为()
a.三边均不相等的三角形b.直角三角形 c.等腰非等边三角形d.等边三角形
8.已知?abc三个顶点a、b、c,若ab
?abc为()
?ab?ac?ab?cb?bc?ca,则
a.等腰三角形b.等腰直角三角形
c.直角三角形d.既非等腰又非直角三角形 练习答案:c、d、c、d、d、1、d、c